恒星内部的核过程

恒星的能源来自热核反应，$\Delta E=\Delta mc^2$。

原子的结合能

核反应释放的能量

核反应

$$I(A_i,Z_i)+J(A_j,Z_j) \rightleftharpoons K(A_k,Z_k) + L(A_l,Z_l)$$

正反应与逆反应平衡时，称处于核统计平衡。
释放核能

$$Q_{ijk} = (M_i+M_j-M_k-M_l)c^2$$

原子核$I$形成前，$A_i$个相距无穷远的核子的质量为$A_im_H$，$Q_{ijk}$可以写为：

$$\begin{aligned} Q_{ijk} = &[(M_i-A_im_H)+(M_j-A_jm_H)-(M_k-A_km_H)+(M_l-A_lm_H)]c^2 \\&+(A_i+A_j-A_k-A_l)m_Hc^2 \end{aligned}$$

对原子核$I$，定义质量过剩

$$\Delta M(I) = (M_i-A_im_H)c^2$$

其物理意义是自由核子结合成原子核吸收的能量。
从而

$$Q_{ijk} = [\Delta M(I) + \Delta M(J) - \Delta M(K)- \Delta M(L)] + (A_i+A_j-A_k-A_l)m_Hc^2$$

又由于核反应前后核子数守恒，第二项为零，故

$$Q_{ijk} = \Delta M(I) + \Delta M(J) - \Delta M(K)- \Delta M(L)$$

核区某点产能率

单位时间、单位体积的产能

$$\Delta \epsilon = n_i n_j R_{ijk} Q_{ijk}$$

由

$$n_i = \frac{\rho X_i}{A_im_H}$$

得到单位质量气体核产能率

$$q = \frac{\Delta \epsilon}{\rho} = \frac{\rho}{m_H^2}\frac{X_iX_j}{A_iA_j}R_{ijk}Q_{ijk}$$

考虑所有核反应，总核产能率

$$q = \frac{\rho}{m_H^2} \sum_{ijk} \frac{1}{1+\delta_{ij}}\frac{X_iX_j}{A_iA_j}R_{ijk}Q_{ijk}$$

注意核反应有一部分能量被中微子带走，但中微子几乎不参与恒星内部的物理过程，故需要将其扣除。产能率

$$q = q_\mathrm{nuc} - q_\nu$$

常见中微子过程

1. $\beta$衰变：中子衰变成质子和电子，放出一个反电子中微子 $$n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e$$ $\beta^+$衰变： $$p \rightarrow n + e^+ + \nu_e$$
2. 光致中微子过程 $$\gamma + e^- \rightarrow e^- + \nu_e$$
3. 正负电子对湮灭 $$e + e^- \rightarrow \gamma + \gamma + \nu_e +\bar{\nu}_i$$ ($i=e,\tau,\mu$)都有可能。通常释放gamma光子
   逆反应：电子对产生，发生在高温、高密度情况

核反应的可行性

可能的反应路线

自由核子结合形成原子核$I(A,Z)$释放能量$\Delta \epsilon$，定义该原子核的结合能为

$$E_b(I) = \frac{\Delta\epsilon}{A}$$

即平均每个核子释放的能量。
结合能越大，原子核越稳定。

由结合能曲线，${}^{56}\mathrm{Fe}$有最大的结合能，原子核最稳定。更重的核裂变和更轻的核聚变都能自发进行，释放能量。恒星聚变形成铁核后，核反应终止，经历超新星爆炸后一部分铁碎裂飞出，形成ISM。

库伦势垒

氢原子要发生核聚变，需要靠近到强核力起作用的距离内($r\le 10^{-15}\mathrm{m}$)。

原子热运动动能$E_k\sim \frac{3}{2}kT\sim 1\mathrm{keV}$，而库伦势能$E_c\sim 10^3\mathrm{keV}$，故热运动无法突破库伦势垒产生核聚变。

考虑量子隧穿效应。发生量子隧穿的概率

$$P \propto \exp \left(-\pi \frac{Z_iZ_je^2}{\epsilon_0 hv} \right)$$

其中$v$为原子相对运动的速率。
从而反应截面$S\propto P\mathrm{d}n(v)$，其中$n(v)$是速度在$v\sim v+\mathrm{d}v$之间的粒子的数密度。
对处于热平衡态的气体，由麦克斯韦分布，

$$n(v) \propto e^{-m_gv^2/2kT}$$

从而反应率

$$R_{ijk} \propto v\cdot e^{-\pi Z_iZ_je^2/ \epsilon_0 hv} \cdot e^{-m_gv^2/2kT}$$

$R_{ijk}$存在极大值，在$v=v_p$处，称为Gamov峰。

$$v_p = \left( \frac{\pi Z_iZ_je^2 kT}{\epsilon_0 h m_g} \right)^{1/3}$$

峰值反应率

$$R_{ijk,p} \propto (kT)^{-2/3}\exp\left[-\frac{3}{2} \left(\frac{\pi Z_iZ_je^2 }{\epsilon_0 h}\right)^{2/3} \left(\frac{m_g}{kT}\right)^{1/3}\right]$$

• $T$增大时，峰值反应率增大（指数项主导）。
• $Z_i$增大时反应率减小，即更重的元素发生聚变需要更高的温度。恒星在主序中燃烧氢，氢燃料耗尽后恒星引力塌缩，释放引力势能，温度升高，从而可以点火氦聚变。

另外，$I$和$J$原子发生核反应会有短暂的中间态：

$$I+J \rightarrow (I+J)^* \rightarrow K+L$$

$(I+J)^*$是处于量子共振态的复合核。这一效应也可以提高核反应率。

核反应时标

$\tau_i$为$I$元素在$I$于$J$发生核反应被消耗的特征时标。

$$\tau_i = (n_jR_{ijk})^{-1}$$

单位时间、单位体积内$n_jR_{ijk}$个$J$原子核和$I$原子核发生了核反应。其倒数就是消耗一个$I$原子核的特征时间。

对温度依赖

$R_{ijk}$十分依赖温度，发生核反应需要大于某一点火温度。

对核产能率$q$，有经验关系

$$q = q_0 \rho T^n$$

对不同的核反应有不同的$n$。

氢燃烧I：p-p链

pp-I

大致的反应路线为

$$\mathrm{p} + \mathrm{p} \rightarrow \mathrm{pp}（中间核）\rightarrow \mathrm{np} + \mathrm{e}^+ + \nu_e$$

（中间核的衰变称为$\beta^+$衰变）

具体反应过程为：

$${}^1_1\mathrm{p} + {}^1_1\mathrm{p} \rightarrow {}^2_1\mathrm{D} + {}^0_1\mathrm{e}^+ + \nu_e$$ $${}^2_1\mathrm{D} + {}^1_1\mathrm{p} \rightarrow {}_2^3\mathrm{He} + \gamma$$ $${}_2^3\mathrm{He} + {}_2^3\mathrm{He} \rightarrow {}_2^4\mathrm{He} + 2{}_1^1\mathrm{p}$$

净效果为

$$4{}^1_1\mathrm{p} \rightarrow {}_2^4\mathrm{He} + 2{}^0_1\mathrm{e}^+ + 2\nu_e + 2\gamma$$

产能

$$Q_{p-p}=4\Delta M({}^1_1\mathrm{H})-\Delta M({}_2^4\mathrm{He})=26.73\mathrm{MeV}$$

产能率

$$\epsilon = \frac{Q_{p-p}}{4M(\mathrm{H})} \approx 0.7\%$$

远大于化学反应，仅次于黑洞吸积释能（史瓦西黑洞$\epsilon\sim15\%$，克尔黑洞$\epsilon\sim42\%$）。

pp-II和pp-III

pp-II和pp-III的第一步反应相同，且都需要pp-I先进行：

$${}_2^3\mathrm{He} + {}_2^4\mathrm{He} \rightarrow {}_4^7\mathrm{Be} + \gamma$$

pp-II分支：

$${}_4^7\mathrm{Be} + {}_{-1}^{\ \ \ 0}\mathrm{e}^- \rightarrow {}_3^7\mathrm{Li} + \nu_e$$ $${}_3^7\mathrm{Li} + {}_1^1\mathrm{p} \rightarrow 2{}_2^4\mathrm{He}$$

pp-III分支：

$${}_4^7\mathrm{Be} + {}_1^1\mathrm{p} \rightarrow {}_5^8\mathrm{B} + \gamma$$ $${}_5^8\mathrm{B} \rightarrow {}_4^8\mathrm{Be} + {}_{1}^{0}\mathrm{e}^+ + \nu_e$$ $${}_4^8\mathrm{Be} \rightarrow 2{}_2^4\mathrm{He}$$

整个pp链的反应如图：

讨论：

• 各分支并列进行，但相对比重依赖于$T,\rho,X_i$。
  例如，相对丰度固定时，随温度升高，反应由pp-I主导变为pp-II、pp-III主导（越后面的对温度越敏感）。
• 核反应产生的能量一部分被中微子带走，且在不同反应中中微子能量不同。低能中微子主要在pp-I反应中产生（两个质子结合），高能中微子主要在pp-III反应中产生（硼衰变）。
• pp链三个分支的平均单次反应释能$\bar{Q}_{\mathrm{p-p}}\sim26\mathrm{MeV}$
  平均产能率$\epsilon\approx 6\times10^{18}\mathrm{erg/g}$
• 反应速率取决于最慢的反应（pp-I）
  核产能率$q\sim \rho T^n$，对pp链$n\approx 4\sim6$。在各核反应中，pp链是对温度最不敏感的。
• 由此计算能量释放时标$\tau$（pp链维持的氢燃烧时间），对$M\sim M_\odot$，$\tau\sim 10^{10}\mathrm{yr}$
• 由Gamov峰核反应率公式，涉及越重的核的反应需要越高的温度，因而pp链是点火温度最低的。

氢燃烧II：CNO双循环

两个并列的循环，有C、N、O元素参与（上一代超新星增丰），类似催化效果。两个独立的循环：

1. $${}_{\ \ 6}^{12}\mathrm{C} + {}_1^1\mathrm{p} \rightarrow {}_{\ \ 7}^{13}\mathrm{N} + \gamma$$ $${}_{\ \ 7}^{13}\mathrm{N} \rightarrow {}_{\ \ 6}^{13}\mathrm{C} + {}_1^0\mathrm{e}^+ + \nu_e$$ $${}_{\ \ 6}^{13}\mathrm{C} + {}_1^1\mathrm{p} \rightarrow {}_{\ \ 7}^{14}\mathrm{N} + \gamma$$ $${}_{\ \ 7}^{14}\mathrm{N} + {}_1^1\mathrm{p} \rightarrow {}_{\ \ 8}^{15}\mathrm{O} + \gamma$$ $${}_{\ \ 8}^{15}\mathrm{O} \rightarrow {}_{\ \ 7}^{15}\mathrm{N} + {}_1^0\mathrm{e}^+ + \nu_e$$ $${}_{\ \ 7}^{15}\mathrm{N} + {}_1^1\mathrm{p} \rightarrow {}_{\ \ 6}^{12}\mathrm{C} + {}_{2}^{4}\mathrm{He}$$
2. $${}_{\ \ 7}^{14}\mathrm{N} + {}_1^1\mathrm{p} \rightarrow {}_{\ \ 8}^{15}\mathrm{O} + \gamma$$ $${}_{\ \ 8}^{15}\mathrm{O} \rightarrow {}_{\ \ 7}^{15}\mathrm{N} + {}_1^0\mathrm{e}^+ + \nu_e$$ $${}_{\ \ 7}^{15}\mathrm{N} + {}_1^1\mathrm{p} \rightarrow {}_{\ \ 8}^{16}\mathrm{O} + \gamma$$ $${}_{\ \ 8}^{16}\mathrm{O} + {}_1^1\mathrm{p} \rightarrow {}_{\ \ 9}^{17}\mathrm{F} + \gamma$$ $${}_{\ \ 9}^{17}\mathrm{F} \rightarrow {}_{\ \ 8}^{17}\mathrm{O} + {}_1^0\mathrm{e}^+ + \nu_e$$ $${}_{\ \ 8}^{17}\mathrm{O} + {}_1^1\mathrm{p} \rightarrow {}_{\ \ 7}^{14}\mathrm{N} + {}_{2}^{4}\mathrm{He}$$

净反应都为

$$4{}_1^1\mathrm{p} \rightarrow {}_{2}^{4}\mathrm{He} + 2{}_1^0\mathrm{e}^+ + 2\nu_e + 3\gamma$$

讨论：

• C、N、O、F元素循环利用，丰度不随时间变化
• 相对丰度与温度有关
• 反应速率取决于最慢的反应。
  实验表明质子俘获反应对温度的依赖很敏感，而$\beta^+$衰变基本与温度无关。因此高温时$\beta^+$衰变较慢，决定了总反应速率。
• 单次CNO循环释放光子的能量$\sim 25\mathrm{MeV}$
  总产能率 $$q_\mathrm{CNO} \propto \rho T^{16}$$ CNO循环比pp链更依赖温度。

氦燃烧：$3\alpha$过程

恒星氢燃料耗尽后，会收缩释放引力势能，点燃氦聚变。

两个氦核会发生反应

$${}_2^4\mathrm{He} + {}_2^4\mathrm{He} \rightarrow {}_4^8\mathrm{Be}$$

${}_4^8Be$的寿命很短，在$10^{-16}\mathrm{s}$内就会衰变成两个氦核（逆反应），反应无法进行下去。

在$T\ge 10^8\mathrm{K}$时，且$n_{^8\mathrm{Be}}/n_{^4\mathrm{He}}\sim 10^{-9}$时，正反应可以为主导反应。此时一部分${}^8\mathrm{Be}$可以进一步反应：

$${}_4^8\mathrm{Be} + {}_2^4\mathrm{He} \rightarrow {}_{\ \ 6}^{12}\mathrm{C}^* \rightarrow {}_{\ \ 6}^{12}\mathrm{C} + \gamma$$

其中${}_{\ \ 6}^{12}\mathrm{C}^*$是激发量子共振态，后一个反应就是量子共振态的退激发。

总反应为：

$$3{}_{2}^{4}\mathrm{He} \rightarrow {}_{\ \ 6}^{12}\mathrm{C} + \gamma$$

称为 $3\alpha$过程。

一次反应释能

$$Q_{3\alpha} = 3\Delta M({}_{2}^{4}\mathrm{He}) - \Delta M({}_{\ \ 6}^{12}\mathrm{C}) \approx 7.275\mathrm{MeV}$$

产能率

$$\epsilon_{3\alpha} = \frac{Q_{3\alpha}}{3m_\alpha} \approx 5.8\times10^{17} \mathrm{erg/g}$$

约为pp链的十分之一。

核产能率的经验公式

$$q_{3\alpha} \approx \rho^2T^{40}$$

对温度依赖敏感。

${}_{\ \ 6}^{12}\mathrm{C}$还可以进一步俘获$\alpha$粒子：

$${}_{\ \ 6}^{12}\mathrm{C} + {}_{2}^{4}\mathrm{He} \rightarrow {}_{\ \ 8}^{16}\mathrm{O}$$

${}_{\ \ 8}^{16}\mathrm{O}$的库伦势垒已经很大，难以进一步俘获$\alpha$粒子进行反应。从而${}_{\ \ 8}^{16}\mathrm{O}$可以在恒星中累积。

碳和氧的燃烧

氦耗尽后，恒星进一步收缩升温，可以触发碳和氧的燃烧。

碳燃烧：

$${}_{\ \ 6}^{12}\mathrm{C} + {}_{\ \ 6}^{12}\mathrm{C} \rightarrow {}_{12}^{24}\mathrm{Mg}^* \rightarrow {}_{12}^{24}\mathrm{Mg} + \gamma$$

${}_{12}^{24}\mathrm{Mg}$可能发生如下几种衰变：

$${}_{12}^{24}\mathrm{Mg} \rightarrow {}_{12}^{23}\mathrm{Mg} + {}_0^1\mathrm{n}$$ $${}_{12}^{24}\mathrm{Mg} \rightarrow {}_{11}^{23}\mathrm{Na} + {}_1^1\mathrm{p}$$ $${}_{12}^{24}\mathrm{Mg} \rightarrow {}_{10}^{20}\mathrm{Ne} + {}_2^4\mathrm{He}$$ $${}_{12}^{24}\mathrm{Mg} \rightarrow {}_{\ \ 8}^{16}\mathrm{O} + 2{}_2^4\mathrm{He}$$

四种衰变路径概率相当，并行进行。
一次反应$Q\sim 13\mathrm{MeV}$，$\epsilon\sim 5.2\times 10^{17}\mathrm{erg/g}$（略低于$\epsilon_{3\alpha}$）。

氧燃烧：

$${}_{\ \ 8}^{16}\mathrm{O} + {}_{\ \ 8}^{16}\mathrm{C} \rightarrow {}_{16}^{32}\mathrm{S}^* \rightarrow {}_{16}^{32}\mathrm{S} + \gamma$$

${}_{16}^{32}\mathrm{S}$可能发生以下几种衰变：

$${}_{16}^{32}\mathrm{S} \rightarrow {}_{16}^{31}\mathrm{S} + {}_0^1\mathrm{n}$$ $${}_{16}^{32}\mathrm{S} \rightarrow {}_{15}^{31}\mathrm{P} + {}_1^1\mathrm{p}$$ $${}_{16}^{32}\mathrm{S} \rightarrow {}_{14}^{28}\mathrm{Si} + {}_2^4\mathrm{He}$$ $${}_{16}^{32}\mathrm{S} \rightarrow {}_{12}^{24}\mathrm{Mg} + 2{}_2^4\mathrm{He}$$

四种衰变路径并行进行。
一次反应$Q\sim 13\mathrm{MeV}$，$\epsilon\sim 4.8\times 10^{17}\mathrm{erg/g}$。

讨论：

• 碳燃烧和氧燃烧增加了氢核和氦核的丰度，增丰的氢和氦再被重核俘获可以形成更多同位素
• 氧燃烧生成${}_{14}^{28}\mathrm{Si}$的概率更大，使得硅元素更丰富（地球上硅酸盐）

硅的燃烧：核统计平衡

核统计平衡(Nuclear Statistical Equilibrium, NSE)

在$T\sim 10^9\mathrm{K}$，${}_{\ \ 8}^{16}\mathrm{O}$俘获$\alpha$粒子，

$${}_{\ \ 8}^{16}\mathrm{O} + {}_2^4\mathrm{He} \rightarrow {}_{10}^{20}\mathrm{Ne} + \gamma$$

温度升高到$T\sim 1.5\times10^9\mathrm{K}$，发生逆反应：

$${}_{10}^{20}\mathrm{Ne} + \gamma \rightarrow {}_{\ \ 8}^{16}\mathrm{O} + {}_2^4\mathrm{He}$$

称为光致解离过程。
类似地，在$T\sim 3\times10^9\mathrm{K}$，会发生${}_{14}^{28}\mathrm{Si}$的光致解离。
NSE计算正反应和逆反应速率基本相等，但总体上倾向于形成更稳定的核——铁族：${}^{56}\mathrm{Fe},\mathrm{Co},\mathrm{Ni}$。

铁族元素最稳定，不易分解，释能的核聚变也到此为止。
在$T\gtrsim 7\times10^9\mathrm{K}$时，可以发生铁核的光致解离。

重元素的形成：s过程，r过程

重元素可以发生中子俘获反应，俘获$\mathrm{C},\mathrm{O},\mathrm{Si}$燃烧产生的中子，由于中子是电中性的，不需要克服库伦势垒，反应温度较低：

$$I(A,Z) + {}^1_0\mathrm{n} \rightarrow I_1(A+1,Z) + \gamma$$ $$I_1(A+1,Z) + {}^1_0\mathrm{n} \rightarrow I_2(A+2,Z) + \gamma$$

只要$I_n$核结构稳定，中子俘获反应就可以一直进行下去，生成$I$的更重的同位素。

如果$I_n$核不稳定，发生$\beta$衰变：

$$I_n(A+n,Z) \rightarrow J(A+n,Z+1) + {}_{-1}^{\ \ \ 0} \mathrm{e}^- + \bar{\nu}_e$$

$J$核也可能继续发生$\beta$衰变，直到形成稳定的核，可以形成元素周期表后面的元素。

由不稳定核出发，进行自发演化，时标更短的反应路线占主导。实验室发现，$\tau_\beta\sim\mathrm{const.}$，$\tau_n=\tau_n(\rho,T)$。
由$\beta$衰变反应主导的过程称为s过程，由中子俘获反应主导的过程称为r过程。
恒星中进行一系列s过程和r过程形成重元素。

$\mathrm{Au}$的形成：

• 大质量恒星晚期的s、r过程
• 双中子星并合

正负电子对的产生

实验室中发现，原子核吸收高能光子产生正负电子对，

$$N + \gamma \rightarrow N + \mathrm{e}^- + \mathrm{e}^+$$

称为对产生过程(pair production)。

能量守恒要求$h\nu \ge 2m_e$，频率位于gamma波段，$h\nu\sim kT$对应黑体辐射温度$T\sim 10^{10}\mathrm{K}$。

由于黑体辐射的普朗克频谱有高能尾巴，只需要$T\ge10^9\mathrm{K}$，也可以有大量gamma光子，进行对产生。

类似地，氢原子的光致电离过程需要$h\nu \ge 13.6\mathrm{eV}$，对应$T\sim 10^5\mathrm{K}$，而事实上$T\sim 10^4\mathrm{K}$就有较多光子可以电离氢原子，因此恒星气体中有较多比例的电离氢。

铁核光致解离

${}_{26}^{56}\mathrm{Fe}$核吸收光子，被逐步剥离

$${}_{26}^{56}\mathrm{Fe} + \gamma \rightarrow 13{}_{2}^{4}\mathrm{He} + 4{}_0^1\mathrm{n}$$

光子要克服铁核的强相互作用，需要能量$h\nu\sim 100\mathrm{MeV}$，需要很高的温度。此时${}_{2}^{4}\mathrm{He}$的丰度可能超过${}_{26}^{56}\mathrm{Fe}$。

若温度继续升高，可能出现${}_{2}^{4}\mathrm{He}$的光致解离，

$${}_{2}^{4}\mathrm{He} + \gamma \rightarrow 2{}_{1}^{1}\mathrm{p} + 2{}_0^1\mathrm{n}$$

主序星的温度要可以点火核聚变，且重核不会完全解离，故

$$10^6\mathrm{K} < T < 10^9\mathrm{K}$$

和观测结果一致。