恒星的稳定性

平衡态按二阶导数分为稳定平衡、不稳定平衡、随遇平衡

恒星处于热平衡、流体静力学平衡。稳定平衡的恒星受热扰动、动力学扰动，应该可以回到平衡态。

长期热稳定性

2.4节（维里定理）里推出过

$$3\int_{0}^{M} \frac{P}{\rho} \mathrm{d}m = -\Omega$$

而

$$\frac{P}{\rho} = \frac{P_\mathrm{gas}}{\rho} + \frac{P_\mathrm{rad}}{\rho} = \frac{2}{3}u_\mathrm{gas} + \frac{1}{3}u_\mathrm{rad}$$

从而

$$U_\mathrm{gas} = -\frac{1}{2}(\Omega + U_\mathrm{rad})$$

$E=U_\mathrm{gas}+U_\mathrm{rad}+\Omega=-U_\mathrm{gas}<0$，系统处于束缚态。
定义等效引力势能$\Omega_\mathrm{eff}=\Omega+U_\mathrm{rad}$，能保留维里定理的形式$2U_\mathrm{gas}+\Omega_\mathrm{eff}=0$。
恒星收缩时，$|\Omega_\mathrm{eff}|$增大，即$U_\mathrm{gas}$增大，恒星温度升高（释放的引力势能用来加热恒星气体）。

恒星总能的变化率

$$\dot{E} = L_\mathrm{nuc} - L$$

在平衡态上，$L_\mathrm{nuc}=L,E=\mathrm{const}$。
设系统受扰动略微偏离平衡态，使$L_\mathrm{nuc}>L$，此时$\dot{E}>0$，$|E|$减小，从而$|\Omega_\mathrm{eff}|$减小，恒星膨胀，温度降低，导致核产能率降低，回到原平衡态。从而即使恒星有很多短时标的不稳定性，其在长时标上还是稳定的。

热不稳定性

简并气体的不稳定性

多方球模型中

$$P_c = (4\pi)^{1/3}B_n GM^{2/3} \rho_c^{4/3} = C_1\rho_c^{4/3}$$

($C_1$为常数)。求对数并取全微分，

$$\frac{\mathrm{d}P_c}{P_c} = \frac{4}{3}\frac{\mathrm{d}\rho_c}{\rho_c} \tag{2.1}$$

一般地,气体状态方程$P = C_3\rho^aT^b$，有：

$$\frac{\mathrm{d}P_c}{P_c} = a\frac{\mathrm{d}\rho_c}{\rho_c} + b\frac{\mathrm{d}T_c}{T_c} \tag{2.2}$$

对比(2.1)和(2.2)，有

$$\left(\frac{4}{3}-a\right) \frac{\mathrm{d}\rho_c}{\rho_c} = b\frac{\mathrm{d}T_c}{T_c} \tag{2.3}$$

分析下面两种情况：

• 若核区为理想气体， $$P = \frac{\mathcal{R}}{\mu}\rho T$$ 即$a=b=1$，(2.3)给出 $$\frac{1}{3} \frac{\mathrm{d}\rho_c}{\rho_c} = \frac{\mathrm{d}T_c}{T_c}$$ 若引力不稳定性导致核区稍微收缩，$\rho_c$增大，则$T_c$增大，从而$q$迅速增大，产生大量热量，使辐射压增大，又导致核区膨胀，从而可以维持稳定。
• 若核区为简并电子气，非相对论性的和相对论性的物态方程分别为 $$P_\mathrm{e,deg} = k_1\rho^{5/3}T^b$$ $$P_\mathrm{e,r,deg} = k_2\rho^{4/3}T^b$$ 其中$0 < b \ll 1$。
  这两种物态方程都有$a \ge 4/3$，即密度减小时温度增大。当核区等离子体不稳定性使$L_\mathrm{nuc} > L$时，辐射压增大导致核区膨胀，$\rho_c$减小，而$T_c$将增大，使$q$进一步增大，核区将会持续膨胀，偏离平衡态，这一过程称为runaway。
  若膨胀到一定程度使密度减小到解除简并态，核区重新成为稳定的理想气体，这一特例下runaway可以被避免。

薄壳不稳定性

考虑半径$r_0\sim r$处，厚$\ell=r-r_0$，质量$\Delta m$的薄壳，$\ell\ll R$，认为这一薄壳中温度、密度均匀，近似处于热平衡态。

由流体静力学平衡条件，薄壳中的总压力即为$r$内的物质对$r\sim R$的质量为$\Delta \tilde{m}$的壳层的自引力，而压强是各向同性的，从而

$$P(r) \approx \frac{1}{4\pi r^2}\frac{Gm\Delta\tilde{m}}{r^2} \sim \frac{1}{r^4}$$

即

$$\frac{\mathrm{d}P}{P} = -4\frac{\mathrm{d}r}{r}$$

质量$\Delta m=\rho(r)(4\pi r^2\ell)$保持不变时，有$\rho\sim\ell^{-1}$，即

$$\frac{\mathrm{d}\rho}{\rho} = -\frac{\mathrm{d}\ell}{\ell} = -\frac{\mathrm{d}r}{\ell} = -\frac{\mathrm{d}r}{r}\frac{r}{\ell}$$

即

$$-\frac{\mathrm{d}r}{r} = \frac{\ell}{r}\frac{\mathrm{d}\rho}{\rho}$$

从而

$$\frac{\mathrm{d}P}{P} = 4\frac{\ell}{r}\frac{\mathrm{d}\rho}{\rho}$$

联立(2.2)式，

$$\left(4\frac{\ell}{r}-a\right) \frac{\mathrm{d}\rho_c}{\rho_c} = b\frac{\mathrm{d}T_c}{T_c}$$

同简并气体不稳定性的分析，壳层热扰动下能维持平衡的条件是$4\frac{\ell}{r}>a$。远离核区的气体近似为理想气体，稳定条件即$4\frac{\ell}{r}>1$。而薄壳$\ell\ll r$，因此薄壳在热扰动下是不稳定的。

白矮星表面上会残留没燃烧的氢，若经历热扰动，表面亮度会急剧增加，形成核闪耀，使本不可见的白矮星变得可见，观测上称为新星。

最后需要说明的是，上面的讨论中没有考虑温度的变化也会导致光度$L$的变化。如果恒星壳层的膨胀导致温度升高，但同时光度也升高使$L_\mathrm{nuc} < L$，此时壳层也会失去能量而收缩，使其不至于runaway。不过事实上$L\sim T^4$，而相比之下$q$对温度要敏感的多，因此忽略$L$的变化也是合理的。

动力学稳定性

恒星$r$处压强产生各向同性扰动$\delta P$，收缩至半径$r’$。若收缩后还能向外膨胀恢复到原来的位置，则认为系统是动力学稳定的。

令

$$r' = r(1-\epsilon)$$

$0<\epsilon\ll 1$。
由质量连续性方程，

$$\begin{aligned} \rho'(r') &= \frac{1}{4\pi r'^2}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}r'} = \frac{1}{4\pi r^2(1-\epsilon)^2}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}r}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}r'} \\&= \frac{\rho(r)}{(1-\epsilon)^3} \\&\approx \rho(r)(1+3\epsilon) \end{aligned}$$

设压缩过程为绝热的（忽略辐射冷却，也忽略辐射压），绝热指数$\gamma_a$。气体的物态方程为$PV^{\gamma_a}=\mathrm{const}$，即$P\rho^{-\gamma_a}=\mathrm{const}$。从而有

$$P' = P(1+3\epsilon)^{\gamma_a} \approx P(1+3\gamma_a\epsilon)$$

另一方面，$r’$处自引力产生的压强为

$$P_h' = \int_m^M \frac{Gm}{4\pi r^4(1-\epsilon)^4} \mathrm{d}m = (1-\epsilon)^{-4}P \approx (1+4\epsilon)P$$

若要使壳层能膨胀会原来的状态，应有$P’>P_h’$，即

$$\gamma_a > \frac{4}{3}$$

这一条件需要在恒星中任何位置都成立，称为动力学稳定（强）判据。

强判据成立意味着系统是动力学稳定的，但只有部分区域的$\gamma_a<4/3$是否就意味着动力学不稳定还需要进一步考虑。整体的动力学稳定性取决于动力学积分：

$$I_\mathrm{dyn} = \int \left(\gamma_a-\frac{4}{3}\right)\frac{P}{\rho}\mathrm{d}m$$

$I_\mathrm{dyn}<0$时系统是动力学不稳定的。

• 若$\gamma_a<4/3$在核区较大范围内成立，由于中心部分$P/\rho$较大，$I_\mathrm{dyn}<0$，系统动力学不稳定。
• 若$\gamma_a<4/3$仅在表面附近的壳层成立，这一区域对应$P/\rho$很小，因此积分由内部区域主导，$I_\mathrm{dyn}>0$，系统是动力学稳定的。

动力学不稳定性的例子

1. 相对论性简并电子气
   $n=3,\gamma_a=4/3$。系统为白矮星，$M\rightarrow M_\mathrm{ch}$。
   若吸附质量$\delta M$使$M+\delta M>M_\mathrm{ch}$，此时简并压不足以抵抗引力，星体将进行引力塌缩，白矮星结构破坏，因此是动力学不稳定的。
2. 辐射压主导
   非相对论性气体$n=3/2,\gamma_a=5/3$
   相对论性气体和辐射$n=3,\gamma=4/3$
   因此辐射主导的恒星是动力学不稳定的。

另一方面，对辐射，$u_\mathrm{rad}=3P/\rho$，从而

$$-\Omega = 3\int_{0}^{M} \frac{P}{\rho} \mathrm{d}m = 3\int_{0}^{M} \frac{1}{3}u_\mathrm{rad} \mathrm{d}m = U_\mathrm{rad}$$

即辐射压主导的恒星的$E=U+\Omega\approx 0$，即系统是非束缚的。也能说明系统是动力学不稳定的。

部分电离

考虑部分电离的气体，满足Saha方程

$$\frac{x^2}{1-x^2} = \frac{g}{h^3}\frac{(2\pi m_ekT)^{3/2}(kT)^{5/2}}{P} e^{-\chi/kT} \propto P^{-1}$$

物态方程为理想气体物态方程。

若气体受动力学扰动被压缩，分为两个过程：
第一步$(V,P,N)\rightarrow(V’,P’,N)$。令粒子数不变，体积减小导致压强增大，从而$x$减小（复合增强）。
第二步$(V’,P’,N)\rightarrow(V’,P’’,N’)$，令体积不变，上一步复合增强导致$N’ < N$，从而$P’’ < P’$。认为压缩过程满足绝热物态方程，$P=k_a\rho^{\gamma_a}$，复合过程不改变密度，则有$\gamma_a’’ < \gamma_a’$。有可能$\gamma_a’’ < 4/3$，导致动力学不稳定。

3.6节中给出过：

$$\gamma_{\mathrm{a}}(x)=\frac{5+\left(\frac{5}{2}+\frac{\chi}{kT}\right)^{2} x(1-x)}{3+\left[\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}+\frac{\chi}{k T}\right)^{2}\right] x(1-x)}$$

• 对完全中性和完全电离气体，都有$\gamma_a=5/3$
• 对部分电离气体：
  • 取$kT\approx \chi=13.6\mathrm{eV}$，当$18\% < x < 82\%$时$\gamma_a < 4/3$
  • 取$kT\approx \chi/10$（低温），当$5\% < x < 95\%$时$\gamma_a < 4/3$

讨论：

• 在恒星内核，温度足够高，$\mathrm{H},\mathrm{He}$几乎完全电离，$x=1$。从而核区是动力学稳定的。
• 在外围壳层，温度较低，$x<1$，一般$\gamma_a<4/3$，但$P/\rho$也较小，从而整个恒星的动力学积分$I_\mathrm{dyn}>0$，整个系统仍是动力学稳定的。
• 极高温的内核发生光致解离效应，对恒星稳定性的影响不可忽略

对流不稳定性

对流的物理图像：恒星内部壳层温度较高，密度小；外部温度较低，密度大；导致气体在恒星自引力场中循环流动，形成对流。

对流的效果：

• 高效率传热，辐射传热的重要补充
• 将内外物质搅拌均匀，使恒星中各元素化学丰度近似形成均匀分布

流体静力学平衡有

$$\kappa F < 4\pi cGm$$

而

$$\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} m}=-\frac{3}{4 a c} \frac{\kappa}{T^{3}} \frac{F}{\left(4 \pi r^{2}\right)^{2}}$$

若$\kappa F$足够大，即$\left|\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} m}\right|$足够大，可以形成强对流，此时可能有$\kappa F>4\pi cGm$，流体静力学平衡被打破。

对流产生的条件

如图，假如温度、压强为$(\rho_1,P_1)$的气体团块上浮一小段距离到密度、压强为$(\rho_2,P_2)$的壳层处，由于$P_1 > P_2$，这一团块将会膨胀直到和环境压强平衡，即$P_{*}=P_2$。考虑恒星中的动力学时标远小于热力学时标，这一膨胀过程可以近似看为绝热的。绝热膨胀导致密度减小，如果密度比当前壳层的密度$\rho_2$大则下沉，此时是对流稳定的；否则气体团块将继续上浮，直到上升到$r_\mathrm{out}$处，绝热膨胀后的密度大于环境密度。这种情况下是对流不稳定的，$r_\mathrm{out}$即为对流区的外边界。一般$r_\mathrm{out} \ll R$。

如图，若环境为S构型，绝热膨胀的$\rho_{*}<\rho_2$，从而质元上浮，对流区将不断发展，系统对流不稳定；若环境为S’构型，绝热膨胀的$ \rho_{*}<\rho_2’$，质元下沉，系统对流稳定。

对流稳定的条件可以写为：

$$\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\rho}\right)_\mathrm{star} < \left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\rho}\right)_\mathrm{adiabatic}$$

由多方过程的物态方程

$$P = k\rho^{\gamma}$$

有

$$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\rho} = \gamma \frac{P}{\rho}$$

对绝热过程$\gamma=\gamma_a$。达到平衡后$P$相等，$\rho_a>\rho_\mathrm{star}$，从而对流稳定的条件也可以写为

$$\gamma < \gamma_a$$

对恒星中的理想气体，

$$\frac{\mathrm{d}P}{P} = \frac{\mathrm{d}\rho}{\rho} + \frac{\mathrm{d}T}{T}$$

从而

$$\begin{aligned} \gamma &= \frac{\rho}{\mathrm{d}\rho}\left(\frac{\mathrm{d}\rho}{\rho} + \frac{\mathrm{d}T}{T}\right) \\&= 1+\frac{\rho}{T}\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}\rho} \\&= 1+ \frac{\rho}{T}\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\rho}\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}P} \\&= 1+ \gamma\frac{P}{T}\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}P} \end{aligned}$$

从而对流稳定性条件成为

$$\frac{P}{T}\left(\frac{d T}{d P}\right)_{\mathrm{star}}<\frac{\gamma_{\mathrm{a}}-1}{\gamma_{\mathrm{a}}}$$

或者

$$\left|\frac{d T}{d r}\right|_{\mathrm{star}}<\left(\frac{\gamma_{\mathrm{a}}-1}{\gamma_{\mathrm{a}}}\right) \frac{T}{P}\left|\frac{d P}{d r}\right|_{\mathrm{star}}$$

对流不稳定性的例子

将热平衡方程和流体静力学平衡方程代入对流稳定性判据，得到

$$\kappa F<4 \pi c G m\left[4\left(\frac{\gamma_{\mathrm{a}}-1}{\gamma_{\mathrm{a}}}\right)(1-\beta)\right]$$

$右边\le 4\pi cGm$，等号在$\beta=0$时取得。
说明流体静力学平衡被打破之前，对流就可能发生。处于流体静力学平衡的恒星内部一部分壳层也可能存在对流区，与（太阳）观测一致。

具体情况：

• 部分电离区域（如恒星外围温度较低的区域），$\kappa$较大而$\gamma_a$较小，容易出现对流
• 核区附近$\mathrm{H,He}$完全电离，$\kappa$几乎为常量，若磁流体不稳定性使核反应增强，$F$增大，可能出现对流
• 在核区$q\propto T^n$，若$n$增大（如氢烧变成氦烧），也可能导致对流不稳定
  Cowling的计算结果，
  • 若$\kappa\sim\mathrm{const}$，$n>3-4$时出现对流
  • 若$\kappa\sim \rho T^{-7/2}$，$n>8$时出现对流
• $\beta\rightarrow1$（气体压主导），$M$较小时容易出现对流。即小质量恒星内部对流区发达。

小对流云团带走的热量

对流云团位于$r$处的壳层中，质量$m_c$，半径$r_c$，温度$T+\delta T$，密度$\rho+\delta\rho$。云团与环境达到热力学平衡，$\delta P=0$。由理想气体状态方程，

$$\frac{\delta T}{T} + \frac{\delta \rho}{\rho} = \frac{\delta P}{P} = 0$$

云团质心穿过$r_c$的时间称为穿越时标：$\tau=\frac{r_c}{v_c}$
若云团在球壳中均匀分布，此时传热以对流为主，在$\tau$时间内吸收的总热量即为

$$F(r)\frac{r_c}{v_c}$$

恒星自引力在$r$处产生的重力加速度

$$g'(r) = \frac{Gm(r)}{r^2}$$

减去当地的浮力，云团的加速度为：

$$\frac{Gm(r)}{r^2} \left|\frac{\delta \rho}{\rho}\right| = \frac{Gm(r)}{r^2} \left|\frac{\delta T}{T}\right|$$

从而云团上升$r_c$距离时的速度

$$v_c = \sqrt{\frac{Gm(r)}{r^2} \left|\frac{\delta T}{T}\right|r_c}$$

云团的比内能为$u$，$N$个云团吸热导致温度变化

$$\frac{\delta T}{T} \sim \frac{F\frac{r_c}{v_c}}{u\cdot Nm_c}$$

代入上面$v_c$的表达式，有：

$$\left(\frac{\delta T}{T}\right)^{3/2} = \frac{F(r)r_c}{uNm_c\sqrt{\frac{Gmr_c}{r^2}}}$$

量级估计，$F\sim L, m(r)\sim M, Num_c\sim U, r\sim R, r_c\sim R$，有

$$\left(\frac{\delta T}{T}\right)^{3/2} \sim \frac{L}{U}\frac{1}{\sqrt{\frac{GM}{R^3}}} \sim \tau_\mathrm{th}^{-1}\tau_\mathrm{dyn}$$

$\tau_\mathrm{th}$为热力学时标，$\tau_\mathrm{dyn}$为动力学时标。对太阳，$\tau_\mathrm{th}\sim 10^{15}\mathrm{s}, \tau_\mathrm{dyn}\sim 10^{3}\mathrm{s}$。$\frac{\delta T}{T}\sim 10^{-8}$